(七)小白都能看懂的通信原理——正弦信号

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查看805 | 回复5 | 2023-10-31 15:37:14 | 显示全部楼层 |阅读模式
正弦信号和余弦信号仅在相位上相差 微信截图_20231031151841.png ,因此经常统称为正弦信号。
一、正弦信号的波形
1.正弦信号
s(t)=Asin(2πft+φ),其中A是幅度,f是频率,φ是初相,如图所示。


1.png

假定:A=1,f=1Hz,φ=0
则:s(t)=sin2πft,其波形如图所示。


2.png

2.余弦信号
s(t)=Acos(2πft+φ),其中A是幅度,f是频率,φ是初相,如图所示。


3.png

假定:A=1,f=1Hz,φ=0
则:s(t)=cos2πft,其波形如图所示。


4.png

二、正弦信号的特性
1.正弦信号的积分特性
正弦信号有一些非常好用的性质,其中一个就是积分特性。
对一个正弦信号做积分,当积分区间取正弦信号周期的整数倍时,积分结果为零。
正弦信号:s(t)=Asin(2πf0t+φ)
在整数个周期做积分:
5.png
其中,n是整数;
T0是正弦信号的周期: 6.png
根据积分的几何意义:信号波形与时间轴的积分区间部分围出一个封闭图形,对信号求积分就是求这个封闭图形面积的代数和。上述结论显然是成立的,由正弦信号的周期性和对称性直接就可以得到,如图所示。

7.png
2.正弦信号的正交特性
正弦信号的另外一个非常好用的性质就是正交特性:正弦信号集合{sin2πf0t,cos2πf0t,sin4πf0t,cos4πf0t,sin6πf0t,cos6πf0t,…}由基波{sin2πf0t,cos2πf0t}和二次谐波{sin4πf0t,cos4πf0t}等各次谐波组成。
在这个正弦信号集合中:
任意2个正弦信号的乘积在基波周期内的积分结果都为0。
8.png
任意1个正弦信号与自身的乘积在基波周期内的积分结果都为 微信截图_20231031153247.png
9.png
证明:
由三角函数的和差化积公式:
cos(α+β)=cos α cos β-sin αsin β
cos(α-β)=cos α cos β+sin αsin β
sin(α+β)=sin α cos β+cos αsin β
sin(α-β)=sin α cos β-cos αsin β
很容易推导出三角函数的积化和差公式:
11.png
将α=2mπf0t,β=2nπf0t代入积化和差公式,得

12.png
当m≠n时,分别对式(2-1)、(2-2)、(2-3)在基波周期内进行积分,由于m-n次谐波分量和m+n次谐波分量的积分结果都是0,因此得:
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当m=n时,式(2-1)、(2-2)、(2-3)三个式子化为:
14.png
分别对式(2-4)、(2-5)、(2-6)在基波周期内进行积分,由于m+n次谐波分量的积分结果都是0,所以得:
15.png
至此,正弦信号的正交特性证明完毕。

10.png
用心做好保姆工作
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bzhou830 | 2023-11-1 08:47:05 | 显示全部楼层
抢个楼,来学习
选择去发光,而不是被照亮
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lsrly | 2023-11-1 10:52:46 | 显示全部楼层
学习了
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496199544 | 2023-11-1 14:34:50 | 显示全部楼层
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jkernet | 2023-11-2 13:59:35 | 显示全部楼层
打卡学习
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wangxiangtan | 2023-11-2 15:48:23 | 显示全部楼层
回到了学生时代
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