(八)小白都能看懂的通信原理——复指数信号

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查看527 | 回复6 | 2023-11-3 17:00:29 | 显示全部楼层 |阅读模式
使用正弦信号作为基本信号进行频谱分析时会涉及三角函数运算,比较烦琐。
欧拉发现欧拉公式之后,人们开始注意到复指数信号。复指数信号作为基本信号进行频谱分析时使用复指数运算,比较简洁,很快取代了正弦信号的基本信号地位。
一、欧拉公式
著名的欧拉公式:ejθ=cosθ+j sinθ
1. 欧拉公式的几何意义
cosθ+j sinθ是一个复数,实部为cosθ,虚部为sinθ,在复平面上对应单位圆上的一个点。根据欧拉公式,这个点可以用复指数ejθ表示,如图所示。
2.png


2.欧拉公式的证明
下面利用泰勒级数展开对欧拉公式进行证明。
3.png
令z=jx 则
4.png
推导过程中用到了:
5.png
证明完毕。
二、如何理解复数
欧拉公式涉及复数,如何理解复数呢?
1.复数的几何意义
为了便于理解,通常用复平面上的向量来表示复数。
复指数 111.png 对应的向量:始端为原点,长度为1,辐角为θ,如图所示。
6.png
引入向量之后,复数与复指数相乘就可以用向量旋转来理解。
复数:z=r(cos φ+j sin φ)
直接套用欧拉公式,可得: 222.png
复数z与复指数相乘: 333.png


也就是说:
复数与复指数相乘,相当于复数对应的向量旋转角度θ:
θ>0逆时针旋转
θ<0顺时针旋转
如图所示。
7.png
2.如何理解虚数
复指数中引入了虚数j,如何理解这个虚数j呢?
讲到这里也许有人会问:数学中的虚数一般用“i”表示,为何物理中一般用“j”表示呢?
这是因为物理中经常用“i”表示电流。
关于虚数,如果追溯起来,在高中的时候我们就接触过了。具体说来,应该是在解一元三次方程的时候涉及的。已知:x3-2x2+x-2=0
求:x
解:由:x3-2x2+x-2=0
得:x2(x-2)+x-2=(x-2)(x2+1)=0
由:x-2=0
得:x=2(实根)
由:x2+1=0,x2=-1
得:x=±i(虚根)
感觉高中课本纯粹就是为了给 444.png =-1一个解,才定义了虚数i,其平方为-1,至于虚数i有什么物理意义就不得而知了。
按一般的理解:一个数和它自己相乘,应该得到一个正数才对,例如:2×2=4,(-1)×(-1)=1。为什么虚数i和自己相乘会得-1呢?
虚数刚被提出时,也曾经困扰了很多数学家,被大家认为是“虚无缥缈的数”,直至欧拉发现“欧拉公式”后,人们才对虚数的物理意义有了清晰的认识。
下面我们来看看如何利用欧拉公式理解虚数。
在欧拉公式中, 8.png
得: 9.png
即: 10.png
复数与j相乘,就是与复指数 555.png 相乘,相当于复数对应的向量逆时针旋转90°。
也就是说,复数与j相乘的过程,也就是向量旋转的过程,如图所示。
11.png
根据前面的分析,可以得到:实数1对应的向量逆时针旋转90°,得到虚数j,即:1×j=j
虚数j对应的向量再逆时针旋转90°,得到实数-1,即:j×j=j2=-1
至此,我们解释清楚了为什么虚数j的平方等于-1。
三、如何理解复信号
当θ以角速度ω0随时间变化时,复指数就成了复指数信号。
复指数信号: 666.png ,其中A是幅度,ω0是角速度,φ是初相,如图所示。
12.png
如何理解这个复指数信号呢?
1.复指数信号的几何意义
复平面上的一个长度为A的旋转向量,始端位于原点,从角度φ开始,以角速度ω0围绕原点旋转,其末端在复平面上的轨迹就是复指数信号 777.png
0时刻:复指数信号 888.png ,对应的向量如图所示。
13.png
t时刻:复指数信号,对应的向量如图所示。
14.png
假定:A=1,ω0=2π,φ=0
则: 000.png 这个复指数信号随时间变化的轨迹如图所示。
15.png
这个复指数信号在复平面上的投影是个单位圆,如图所示。
16.png
这个复指数信号在实轴(x轴)上的投影随时间变化的曲线如图所示。
17.png
这个复指数信号在虚轴(y轴)上的投影随时间变化的曲线如图所示。
18.png
由复指数信号在复平面上的投影是个圆,很容易让人想起物理中学过的李萨育图形。
2.李萨育图形
使用互相成谐波频率关系的两个信号x(t)和y(t)分别作为X和Y偏转信号送入示波器,如图所示。
19.png
这两个信号分别在X轴、Y轴方向同时作用于电子束而在荧光屏上描绘出稳定的图形,这些稳定的图形就叫“李萨育图形”,如图所示。
20.png
各种李萨育图形对应的X轴和Y轴输入信号、电子束运动轨迹函数如表所示。
21.png
表中第一个李萨育图形实质就是复指数信号 999.png 在复平面上的投影。
再来看一下第二个李萨育图形,其实质就是复信号f(t)=cos(2πft)+j sin(4πft)在复平面上的投影,如图所示。
22.png
3.什么是复信号
通过上面的讲解,可以发现:
复信号的本质就是并行传输的2路实信号。之所以被称为复信号,只是因为这个信号可以用复数来表示而已。
假定:x(t)和y(t)是并行传输的2路实信号。
这两路实信号用一个复信号来表示就是:f(t)=x(t)+jy(t)
需要注意的是:引入复信号只是为了便于描述和处理信号而已,实际通信系统中都是并行传输2路实信号,并没有传输虚数j。
如图所示。
24.png
四、复指数信号的特性
1.复指数信号的积分特性
复指数信号有一些很好用的性质,积分特性就是其中一个:
对一个复指数信号做积分,当积分区间取复指数信号周期的整数倍时,积分结果为零。
复指数信号: 25.png
在整数个周期内做积分:
26.png
[插图]根据正弦信号的积分特性,上式的积分结果为0,即
27.png
其中,n是整数;
T0是复指数信号的周期: 28.png
2.复指数信号的正交特性
复指数信号的另外一个很好用的性质是正交特性:
复指数信号集合 1111.png 由基波 2222.png 和二次谐波 3333.png 等各次谐波组成。
在这个复指数信号集合中:
任意1个复指数信号与另1个复指数信号共轭的乘积在基波周期内的积分结果都为0。
29.png
任意1个复指数信号与自身共轭的乘积在基波周期内的积分结果都为T0。
30.png
证明:
31.png
当m≠n时,根据正弦信号的积分特性,上式的积分结果为0
即: 32.png
当m=n时,余弦项变为1,正弦项变为0,得:
33.png
即: 34.png
证明完毕。

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