（十二）小白都能看懂的通信原理——周期信号的离散谱

构成周期信号的所有复指数信号成分可以用傅里叶系数来描述，但是傅里叶系数不够直观，有没有什么办法可以把傅里叶系数直观地呈现出来呢？这就引出了频谱。
一、两类频谱
1. 三维频谱
以频率为横轴，将所有 画到 处与横轴垂直的复平面上，就得到了三维频谱，如图所示。

接着前面的例子，周期为1s的方波信号，其三维频谱如图所示。

仔细观察可以发现：方波信号的傅里叶系数 是实数，不是复数，因此只需画出实轴和频率轴即可，如图所示。

需要指出的是，虽然在 是实数的情况下三维频谱只画了两维，但本质上还是三维频谱，只是虚轴没有画出来而已。注意与后面讲到的幅度谱区分开。
三维频谱非常直观，但绘制起来不方便，很多书中都是使用幅度频谱和相位频谱来进行频谱分析。
2．幅度频谱和相位频谱
1）幅度谱
以频率为横轴，以幅度为纵轴，将所有 的幅度（也就是模）画到一张图中，这就是幅度谱。
周期为1s的方波信号幅度谱如图所示。

2）相位谱
以频率为横轴，以初相为纵轴，将所有 的初相画到一张图中，这就是相位谱。
周期为1s的方波信号相位谱如图所示。

二、常用周期信号的频谱
1．余弦信号的频谱
余弦信号：

1）三维频谱
余弦信号的三维频谱如图所示。

2）幅度谱
余弦信号的幅度谱如图所示。

3）相位谱
余弦信号的相位谱如图所示。

2．正弦信号的频谱
正弦信号：

1）三维频谱
正弦信号的三维频谱如图所示。

2）幅度谱
正弦信号的幅度谱如图所示。

3）相位谱
正弦信号的相位谱如图所示。

3．方波信号的频谱
周期为1s的方波信号如图所示。

周期：T=1，脉冲宽度：τ=0.5，占空比：1/n=τ/T=1/2根据周期矩形信号傅里叶系数表达式：

将n=2代入，得

以频率为横轴，傅里叶系数 为纵轴，画出其三维频谱，如图所示。

横轴的单位是 ，也就是说坐标轴上的k对应的频率为 ，k和k+1对应的频率间隔为基波频率 。换句话说，谱线之间的频率间隔就是基波频率。
其中： ，T是周期信号的周期。
值得注意的是：只有 为实数的情况下才能这样画三维频谱。
仔细观察可以发现：对于幅度为1、周期为1s的方波信号，其离散谱就是对 的采样，采样间隔为 。
4．周期矩形信号的频谱
周期矩形信号的傅里叶系数：

将

代入上式sinc函数中，得

也就是说：幅度为1、脉宽为τ、占空比为1/n的周期矩形信号的离散谱就是对 的采样，采样间隔为 。
下面接着前面周期方波信号的例子。保持脉宽不变，逐步增大周期，得到不同占空比的周期矩形信号，对其频谱进行对比。
1）占空比为1/4的周期矩形信号
保持脉宽不变，周期增大一倍，得到占空比为1/4的周期矩形信号，如图所示。

周期：T=2，脉冲宽度：τ=0.5，占空比：1/n=τ/T=1/4
根据周期矩形信号傅里叶系数表达式：

将n=4代入，得

其三维频谱如图2所示。

由于周期增大一倍，基波频率减小一半，谱线间隔也随之减小一半。
2）占空比为1/8的周期矩形信号
保持脉宽不变，周期再增大一倍，得到占空比为1/8的周期矩形信号，如图所示。

周期：T=4，脉冲宽度：τ=0.5，占空比：1/n=τ/T=1/8
根据周期矩形信号傅里叶系数表达式：

将n=8代入，得

其三维频谱如图所示。

由于周期又增大一倍，基波频率又减小一半，谱线间隔也随之减小一半。
3）频谱对比
将脉宽相同、占空比不同的三个周期矩形信号的波形画到一起，如图所示。

对应的频谱也画到一起，如图所示。

很明显，周期每扩大一倍，谱线的数量也扩大一倍，谱线间隔和谱线长度都会减小一半。随着周期的不断增大，谱线间隔越来越小，谱线长度也越来越短。
注：虽然三个频谱图横轴的刻度不同，但是坐标轴相同位置对应的频率是相同的。

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完全不懂耶

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