(十二)小白都能看懂的通信原理——周期信号的离散谱

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查看391 | 回复9 | 2024-2-22 16:32:45 | 显示全部楼层 |阅读模式
构成周期信号的所有复指数信号成分可以用傅里叶系数来描述,但是傅里叶系数不够直观,有没有什么办法可以把傅里叶系数直观地呈现出来呢?这就引出了频谱。
一、两类频谱
1. 三维频谱
以频率为横轴,将所有 1.png 画到 2.png 处与横轴垂直的复平面上,就得到了三维频谱,如图所示。
3.png
接着前面的例子,周期为1s的方波信号,其三维频谱如图所示。
5.png
仔细观察可以发现:方波信号的傅里叶系数 1.png 是实数,不是复数,因此只需画出实轴和频率轴即可,如图所示。
6.png
需要指出的是,虽然在 1.png 是实数的情况下三维频谱只画了两维,但本质上还是三维频谱,只是虚轴没有画出来而已。注意与后面讲到的幅度谱区分开。
三维频谱非常直观,但绘制起来不方便,很多书中都是使用幅度频谱和相位频谱来进行频谱分析。
2.幅度频谱和相位频谱
1)幅度谱
以频率为横轴,以幅度为纵轴,将所有 1.png 的幅度(也就是模)画到一张图中,这就是幅度谱。
周期为1s的方波信号幅度谱如图所示。
7.png
2)相位谱
以频率为横轴,以初相为纵轴,将所有 1.png 的初相画到一张图中,这就是相位谱。
周期为1s的方波信号相位谱如图所示。
8.png
二、常用周期信号的频谱
1.余弦信号的频谱
余弦信号:
9.png
1)三维频谱
余弦信号的三维频谱如图所示。
10.png
2)幅度谱
余弦信号的幅度谱如图所示。
11.png
3)相位谱
余弦信号的相位谱如图所示。
12.png

2.正弦信号的频谱
正弦信号:
13.png
1)三维频谱
正弦信号的三维频谱如图所示。
14.png
2)幅度谱
正弦信号的幅度谱如图所示。
15.png
3)相位谱
正弦信号的相位谱如图所示。
16.png
3.方波信号的频谱
周期为1s的方波信号如图所示。
02.png
周期:T=1,脉冲宽度:τ=0.5,占空比:1/n=τ/T=1/2根据周期矩形信号傅里叶系数表达式:
01.png
将n=2代入,得
18.png
以频率为横轴,傅里叶系数 1.png 为纵轴,画出其三维频谱,如图所示。
19.png
横轴的单位是 20.png ,也就是说坐标轴上的k对应的频率为 21.png ,k和k+1对应的频率间隔为基波频率 20.png 。换句话说,谱线之间的频率间隔就是基波频率。
其中: 22.png ,T是周期信号的周期。
值得注意的是:只有 1.png 为实数的情况下才能这样画三维频谱。
仔细观察可以发现:对于幅度为1、周期为1s的方波信号,其离散谱就是对 23.png 的采样,采样间隔为 24.png
4.周期矩形信号的频谱
周期矩形信号的傅里叶系数:
25.png

26.png
代入上式sinc函数中,得
27.png
也就是说:幅度为1、脉宽为τ、占空比为1/n的周期矩形信号的离散谱就是对 03.png 的采样,采样间隔为 24.png
下面接着前面周期方波信号的例子。保持脉宽不变,逐步增大周期,得到不同占空比的周期矩形信号,对其频谱进行对比。
1)占空比为1/4的周期矩形信号
保持脉宽不变,周期增大一倍,得到占空比为1/4的周期矩形信号,如图所示。
30.png
周期:T=2,脉冲宽度:τ=0.5,占空比:1/n=τ/T=1/4
根据周期矩形信号傅里叶系数表达式:
28.png
将n=4代入,得
29.png
其三维频谱如图2所示。
31.png
由于周期增大一倍,基波频率减小一半,谱线间隔也随之减小一半。
2)占空比为1/8的周期矩形信号
保持脉宽不变,周期再增大一倍,得到占空比为1/8的周期矩形信号,如图所示。
32.png
周期:T=4,脉冲宽度:τ=0.5,占空比:1/n=τ/T=1/8
根据周期矩形信号傅里叶系数表达式:
33.png
将n=8代入,得

34.png
其三维频谱如图所示。
35.png
由于周期又增大一倍,基波频率又减小一半,谱线间隔也随之减小一半。
3)频谱对比
将脉宽相同、占空比不同的三个周期矩形信号的波形画到一起,如图所示。
36.png
对应的频谱也画到一起,如图所示。
37.png
很明显,周期每扩大一倍,谱线的数量也扩大一倍,谱线间隔和谱线长度都会减小一半。随着周期的不断增大,谱线间隔越来越小,谱线长度也越来越短。
注:虽然三个频谱图横轴的刻度不同,但是坐标轴相同位置对应的频率是相同的。
5.png
用心做好保姆工作
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hdydy | 2024-2-22 16:38:07 | 显示全部楼层
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1084504793 | 2024-2-22 18:46:31 | 显示全部楼层
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wukong50 | 2024-2-22 22:11:55 | 显示全部楼层
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WT_0213 | 2024-2-23 08:49:26 | 显示全部楼层
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lazy | 2024-2-23 09:04:48 | 显示全部楼层
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干簧管 | 2024-2-23 21:02:20 | 显示全部楼层
完全不懂耶
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timo | 2024-2-24 16:22:21 | 显示全部楼层
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物联网 | 2024-2-25 14:26:34 | 显示全部楼层
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bzhou830 | 2024-2-25 14:44:42 | 显示全部楼层
完全不懂耶
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