(十四)小白都能看懂的通信原理——傅里叶变换

[复制链接]
查看490 | 回复14 | 2024-3-12 17:22:19 | 显示全部楼层 |阅读模式
前面以矩形脉冲信号为例介绍了非周期信号的连续谱。如果是一般的非周期信号,如何求其连续谱呢?这就引出了傅里叶变换。
一、傅里叶正变换
将推导非周期矩形信号连续谱的方法推广到一般非周期信号,如图所示。
1.png

(1)以T为周期,对非周期信号x(t)进行周期性拓展得到周期信号 2.png

(2)求出周期信号 2.png 的傅里叶系数。


3.png

4.png

5.png

(3) 6.png


7.png

(4)T趋于无穷大时, 8.png 趋于0, 9.png 演变为X(f), 10.png 演变为x(t), 11.png 演变为f,由此得到非周期信号x(t)的连续谱:


12.png

这个式子就是傅里叶正变换。

二、傅里叶逆变换

如何由连续谱X(f)求对应的非周期信号x(t)呢?方法如图所示。


13.png

(1)根据连续谱X(f)的含义,只要以 8.png 为间隔对X(f)进行采样,采样结果乘以 8.png ,即可得到一个周期信号的傅里叶系数 14.png ,该周期信号的周期 15.png


16.png

(2)已知 14.png ,利用傅里叶级数展开式,就可以求得周期信号 10.png


17.png

18.png 代入,得:


19.png

(3)令周期T趋于无穷大,即可得到非周期信号x(t)。

T趋于无穷大,也就意味着 8.png 趋于0, 11.png 趋于f


21.png



22.png

这个式子就是傅里叶逆变换。

上述推导过程中用到了一个微积分的知识,那就是:f(x)的积分可以用一系列的矩形面积来逼近,矩形的宽为∆x,高为f(k∆x)。如图所示。


25.png

当∆x→0时,所有矩形的面积之和就等于f(x)的积分。


27.png

由此式很容易得到:


28.png

三、傅里叶变换

傅里叶正变换:


29.png

傅里叶逆变换:


30.png

二者被统称为傅里叶变换。

上面的傅里叶变换表达式中使用的变量是f,有时候傅里叶变换表达式也使用ω作为变量。由ω=2πf,得到:f=ω/2π,代入上面的傅里叶变换表达式,很容易得到变量为ω的傅里叶变换表达式。

傅里叶正变换:


31.png

傅里叶逆变换:


32.png

四、非周期信号的傅里叶变换

1.矩形脉冲信号

矩形脉冲信号的傅里叶变换是sinc函数。

脉冲幅度为1、脉冲宽度为τ的矩形脉冲信号及其傅里叶变换如图所示。


33.png

2.sinc脉冲信号

sinc脉冲信号τ sinc(τt)的傅里叶变换是矩形函数,如图所示。


34.png

3.单位冲激信号

前面介绍了sinc脉冲信号τ sinc(τt)的傅里叶变换,只要令脉冲幅度τ趋于无穷大,就可以得到单位冲激信号的傅里叶变换。

当τ趋于无穷大时,幅度为τ的sinc脉冲信号将演变成单位冲激信号,如图所示。


35.png

其频谱将演变成一个常数,如图所示。


36.png

由此我们得到了单位冲激信号及其傅里叶变换,如图所示。


37.png

TIPS:单位冲激函数

一个矩形脉冲,持续时长为Δ,幅度为1/Δ,面积为1。当Δ趋于0时,矩形脉冲将演变为一个单位冲激信号δ(t),如图所示。


38.png

单位冲激信号满足如下两个条件:


39.png

从上面的定义可以看出,单位冲激信号有3个特点:

幅度:t=0时幅度无穷大,t≠0时幅度为0。 

宽度:为0。 

面积:为1。

单位冲激信号除了可以由矩形脉冲信号演变而来,也可以由其他脉冲信号演变而来,例如sinc脉冲信号τ sinc(τt),如图所示。


40.png

下面我们再利用傅里叶变换公式推导一下单位冲激信号的傅里叶变换。将x(t)=δ(t)代入傅里叶变换公式:

41.png

根据单位冲激函数的定义我们知道:

只有t=0时,δ(t)才不为0,而t=0时, 42.png

代入上式后得到:


43.png

由此得出:


44.png

五、周期信号的傅里叶变换

傅里叶变换是由非周期信号引出的,对周期信号是否适用呢?如果对周期信号也适用,则周期信号和非周期信号的频谱分析就可以统一到傅里叶变换这一种方法了。

先来看一下直流信号的傅里叶变换。

1.直流信号的傅里叶

变换前面介绍了矩形脉冲信号的傅里叶变换,只要令脉宽τ趋于无穷大,就可以得到直流信号的傅里叶变换。

幅度为1、脉宽为τ的矩形脉冲信号,当τ趋于无穷大时,将演变成直流信号1,如图所示。


45.png

其傅里叶变换X(f)=τ sinc(τf)将演变为一个单位冲激函数:δ(f),如图所示。


46.png

由此我们得到:幅度为1的直流信号的傅里叶变换是位于f=0的单位冲激函数δ(f),如图所示。


47.png

要想用傅里叶变换的公式直接推导出 48.png ,还真有点难,我们换个角度:假定某个信号的频谱是δ(f),求这个信号。

根据傅里叶逆变换的公式:


49.png

由单位冲激函数的定义我们知道:只有f=0时,δ(f)才不为0,而f=0时, 50.png

代入上式后得


51.png

由此得


52.png

进一步得到:


53.png

2.复指数信号的傅里叶变换

54.png

可以得到:


55.png

将f替换为 56.png ,得


57.png

复指数信号 58.png 的傅里叶变换:


59.png



60.png

换句话说:复指数信号 61.png 的傅里叶变换是位于 62.png 的单位冲激函数 63.png ,如图所示。


64.png

下面再来看一下余弦信号 65.png 的傅里叶变换。

3.余弦信号的傅里叶变换

因为:


66.png

所以:


67.png

余弦信号及其傅里叶变换如图所示。


68.png

下面看一下正弦信号 69.png 的傅里叶变换。

4.正弦信号的傅里叶变换

因为:


70.png

所以:


71.png

正弦信号及其傅里叶变换如图所示。


72.png

5.一般周期信号的傅里叶变换

根据傅里叶级数展开,周期信号可以分解为一系列复指数信号 73.png 之和:


74.png

根据傅里叶变换的定义:


75.png

将x(t)代入,得


76.png

其中积分部分就是求复指数信号 77.png 的傅里叶变换。

复指数信号 78.png 的傅里叶变换在前面介绍过:


79.png

80.png 替换 81.png ,即可得到 82.png 的傅里叶变换:


83.png

代入后,得


84.png

也就是说:

周期信号的傅里叶变换是由一系列的冲激函数构成,这些冲激位于信号的基波和各谐波频率处,冲激的强度是傅里叶系数 85.png

周期为1秒的方波信号的傅里叶变换如图所示。


86.png

六、傅里叶变换的对称性

前面讲了直流信号的傅里叶变换:

87.png 即:“1的傅里叶变换是单位冲激函数”。

又讲了单位冲激信号的傅里叶变换:

88.png ,即:“单位冲激信号的傅里叶变换是1”。

把这两个信号及其傅里叶变换画到同一张图中,可以发现二者具有很明显的对称关系,如图所示。


89.png

这就是傅里叶变换的对称性:如果函数x(t)的傅里叶变换是y(f),则y(t)的傅里叶变换是x(-f)。

换句话说就是:

若: 90.png

为什么傅里叶变换会有这种对称性呢?

我们来看一下傅里叶正、逆变换的表达式:


91.png

暂且抛开t、f、x(t)和y(t)的物理意义不谈,只把x(t)和y(t)看作两个自变量不同的一般函数,则傅里叶正变换和逆变换的表达式只差了一个负号。

92.png

上式的右端正好是y(t)的傅里叶变换表达式。

由此我们证明了:


93.png

更进一步,如果函数x(t)是个偶函数:x(-f)=x(f),可以得到:

如果函数x(t)是个偶函数,其傅里叶变换是y(f),则y(t)的傅里叶变换是x(f)。

下面以矩形脉冲信号的傅里叶变换和sinc脉冲信号的傅里叶变换为例,再看一下傅里叶变换的对称性,如图所示。


94.png

七、延迟信号的傅里叶变换

1.傅里叶变换的时移特性

95.png
也就是说:信号x(t)在时域中延迟 96.png 等价于在频域中乘以因子 97.png 。这就是傅里叶变换的时移特性。简单讲就是:时域延迟等价于频域旋转。

将x(t)的频谱做一下旋转即可得到 98.png 的频谱:

f>0部分,顺时针旋转;

f<0部分,逆时针旋转;旋转的角度大小为 99.png ,与频率f成正比。

2.傅里叶变换时移特性的证明

由傅里叶变换的定义,得


100.png

至此我们得到了:


101.png

3.矩形脉冲延迟信号的傅里叶变换

下面看一下矩形脉冲信号及其延迟信号的频谱。

矩形脉冲信号x(t)及其延迟信号 102.png 的波形如图所示。


105.png

脉冲宽度τ=1,时间延迟 103.png

矩形脉冲信号x(t)的傅里叶变换为: 104.png ,其频谱如图所示。


106.png

矩形脉冲信号的频谱矩形脉冲延迟信号 107.png 的傅里叶变换为: 108.png ,其频谱如图所示。


109.png

可以看出正频率部分频谱发生了顺时针旋转,负频率部分频谱发生了逆时针旋转,频率越高旋转的角度越大。

八、信号乘积的傅里叶变换

前面介绍了单个信号的频谱。在通信系统中,经常会涉及两个信号相乘。两个信号乘积的频谱与两个信号的频谱之间是什么关系呢?

答案是:卷积!

1.什么是卷积

为了便于理解,先来看一下信号频谱为离散谱的情况。

假定有2个周期信号:

110.png 其傅里叶系数为:[1,5,6]

g(t)= 111.png ,其傅里叶系数为:[3,2]

这2个信号的乘积为:

112.png 其傅里叶系数为:[3,17,28,12]

这2个周期信号的傅里叶系数与其乘积的傅里叶系数之间是什么关系呢?

为了看得更清楚,将 113.png 用x来表示:


114.png
这样处理之后,信号相乘就转换为多项式乘法,傅里叶系数就是多项式的系数,傅里叶系数之间的关系就转换为多项式系数的关系。

多项式乘法一般都是通过先逐项相乘再合并同类项的方法得到的,要得到结果多项式中的某个系数,需要两步操作才行,如图所示。


115.png

有没有办法一步操作就可以得到一个系数呢?

下图所示的计算方法就可以做到。


116.png

这种计算方法总结起来就是:

反褶:一般多项式都是按x的降幂排列,这里将其中一个多项式的各项按x的升幂排列。

平移:将按x的升幂排列的多项式每次向右平移一个项。

相乘:垂直对齐的项分别相乘。

求和:相乘的各结果相加。

反褶、平移、相乘、求和,这就是通信原理中常用的一个概念“卷积”的计算过程。

至此可以回答这个问题了:2个周期信号的傅里叶系数与其乘积的傅里叶系数之间是什么关系?答案就是:卷积。

也就是说,假定有2个周期信号:

117.png 其傅里叶系数为:[1,5,6]

118.png ,其傅里叶系数为:[3,2]

这2个信号的乘积为:


119.png

这个乘积信号的傅里叶系数不需要先在时域做相乘运算,再求傅里叶系数,可以直接用2个周期信号的傅里叶系数的卷积计算出来:

[3,17,28,12]=[1,5,6]*[3,2],其中“*”表示卷积。

换句话说:对于两个周期信号,时域相乘相当于频域卷积。
2.离散序列的卷积
任意两个序列x[n]和y[n]的卷积为:
120.png
下面以下图所示的x[n]和y[n]为例,看一下卷积的计算过程。
121.png
反褶:对y[k]进行反褶得到y[-k],这就是“卷积”中所谓的“卷”。
x[k]和y[-k]如图所示。
122.png
平移0:n=0,y[-k]平移0得到y[0-k],与x[k]相乘(k=0~n),再求和得到z[0]=x[0]y[0],如图所示。
123.png
平移1:n=1,y[-k]向右平移1得到y[1-k],与x[k]相乘(k=0~n),再求和得到z[1]=x[0]y[1]+x[1]y[0],如图所示。

124.png

平移2:n=2,y[-k]向右平移2得到y[2-k],与x[k]相乘(k=0~n),再求和得到z[2]=x[0]y[2]+x[1]y[1]+x[2]y[0],如图所示。

125.png

平移3:n=3,y[-k]向右平移3得到y[3-k],与x[k]相乘(k=0~n),再求和得到z[3]=x[0]y[3]+x[1]y[2]+x[2]y[1]+x[3]y[0],如图所示。

126.png

以此类推,中间过程略。

平移9:n=9,y[-k]向右平移9得到y[9-k],与x[k]相乘(k=0~n),再求和得到z[9]=x[0]y[9]+x[1]y[8]+x[2]y[7]+…+x[8]y[1]+x[9]y[0],如图所示。

127.png

至此我们得到了z[n]=x[n]*y[n],如图所示。

128.png

前面讲解了频谱为离散谱的两个信号乘积的频谱,下面来看一下频谱为连续谱的两个信号乘积的频谱。
3.频域卷积定理
时域相乘相当于频域卷积,对两个频谱为连续谱的信号也是适用的,只是卷积要由两个离散序列的卷积改为两个连续函数的卷积。
也就是说:
129.png
这就是频域卷积定理。
4.连续函数的卷积
为了便于区分,一般将两个离散序列的卷积称为“卷积和”,将两个连续函数的卷积称为“卷积积分”。
卷积和的计算过程为:反褶—平移—相乘—求和。卷积积分的计算过程与其类似:反褶—平移—相乘—积分,只是要将最后一步“求和”改为“积分”。
两个连续函数:X(f)和Y(f)
其卷积为:
130.png
1)两个连续函数的卷积
下面以矩形函数和锯齿函数的卷积为例,看一下两个连续函数卷积积分的计算。
已知:
131.png
132.png
X(f)和Y(f)如图所示。
133.png
第一步:反褶,将Y(τ)反褶,得到Y(-τ),如图所示。
134.png
第二步:平移,将Y(-τ)平移f,得到Y(f-τ)。下面挑几个典型的f取值画一下Y(f-τ)的图。
当f=0时,Y(f-τ)=Y(-τ),如图所示。
134.png

当f=1时,Y(-τ)从原来的位置向右平移1,得到Y(1-τ),如图所示。
135.png
当f=2时,Y(-τ)从原来的位置向右平移2,得到Y(2-τ),如图所示。
136.png
当f=3时,Y(-τ)从原来的位置向右平移3,得到Y(3-τ),如图所示。
137.png
当f=4时,Y(-τ)从原来的位置向右平移4,得到Y(4-τ),如图所示。
138.png
当f=5时,Y(-τ)从原来的位置向右平移5,得到Y(5-τ),如图所示。
139.png
第三步:相乘,X(τ)Y(f-τ)。
在特定的几个f取值情况下,X(τ)Y(f-τ)结果如图所示。
140.png
很容易看出:当f≤1时,X(τ)Y(f-τ)=0
当1≤f≤5时,X(τ)Y(f-τ)是一条直线,斜率为-1/2,经过(f,0)这一点
141.png
当f≥5时,X(τ)Y(f-τ)=0
第四步: 142.png
当f≤1时,
143.png
当1≤f≤3时,
144.png
当3≤f≤5时,
145.png
当t≥5时,
146.png
将X(f)、Y(f)和X(f)*Y(f)画到一张图中,如图所示。
147.png

2)与单位冲激函数做卷积
通过前面矩形函数和锯齿函数的卷积积分计算过程可以发现:卷积积分的计算很麻烦。值得庆幸的是:通信系统中很少用到这样的卷积积分,有一类卷积积分倒是很常用,那就是:与单位冲激函数做卷积。
下面看一下函数X(f)与δ(f)的卷积积分:X(f)*δ(f)
根据卷积的定义:
148.png
因为δ(f-τ)只有在τ=f时才不为0,所以:
149.png
将X(f)从积分符号内提取到前面,得
150.png
其中用到了: 151.png
由此得到:X(f)*δ(f)=X(f)
也就是说:一个函数与单位冲激函数的卷积结果为函数本身,如图所示。
153.png
0.png
根据卷积的定义:
155.png
因为 156.png 只有在 157.png 时才不为0,所以:
158.png
159.png 从积分符号内提取到前面,得
160.png
其中用到了:
161.png
由此得到:
162.png
即:一个函数X(f)与单位冲激函数的卷积结果为X(f-f0)。
如果X(f)和δ(f-f0)是两个信号的频谱,则这两个频谱做卷积的结果就是将X(f)的频谱搬移到单位冲激函数δ(f-f0)所在位置(f=f0),如图所示。
163.png
5.频域卷积定理在调制中的应用
通信系统中什么场景下会用到频域卷积定理呢?
调制就是很常见的一种场景。
例如:信号x(t)调制到载波 164.png 上,如图所示。
165.png
y(t)是x(t)和 166.png 的乘积: 167.png
x(t)、 168.png y(t)的波形如图所示。
174.png
信号x(t)的频谱为:X(f)
载波 169.png 的频谱为:
170.png
根据频域卷积定理,y(t)的频谱为:
171.png
由此得到:
172.png
也就是说:将信号x(t)调制到载波 173.png 上的过程,就是将信号x(t)的频谱X(f)一分为二分别向左和向右搬移的fo过程,如图所示。
175.png
6.频域卷积定理在采样中的应用
除了调制中会用到频域卷积定理以外,采样中也会用到频域卷积定理。
采样就是模拟信号和抽样脉冲相乘得到抽样信号的过程,如图所示。
176.png
x(t)是模拟信号。
p(t)是抽样脉冲,采样周期为Ts。
y(t)是x(t)和p(t)的乘积:y(t)=x(t)p(t),被称为抽样信号。
x(t)、p(t)和y(t)信号如图所示。
184.png
在分析抽样信号的频谱之前,先来看一下抽样脉冲信号的频谱。
抽样脉冲信号p(t)是一个周期信号,周期为Ts,代入前面所讲的一般周期信号的傅里叶变换计算公式,可以得到:
178.png
其中:
179.png
180.png 一般称为采样频率。
在积分区间 181.png 因此:
182.png
至此,我们得到了抽样脉冲p(t)的傅里叶变换:
183.png
也就是说:抽样脉冲的频谱为一系列强度为fs的冲激,冲激之间的间隔为fs,如图所示。
185.png
知道了抽样脉冲的频谱之后,就可以分析抽样信号的频谱了。
根据频域卷积定理:时域相乘相当于频域卷积。
再结合:与冲激信号做卷积,相当于频谱搬移。
可以得出:在时域以Ts为周期对信号x(t)进行采样,相当于在频域以采样频率fs为间隔对x(t)的频谱进行周期性拓展,如图所示。
185.png
九、信号卷积的傅里叶变换
通信系统中除了会涉及两个信号的乘积之外,还会涉及两个信号的卷积。什么场景会涉及两个信号的卷积,两个信号卷积的频谱与两个信号的频谱之间是什么关系呢?这要从系统的单位冲激响应说起。
1.离散系统的单位冲激响应
一个系统,在输入端输入信号,在输出端会得到相应的输出信号,如图所示。
187.png
如何描述系统对信号所做的处理呢?
先来了解一种信号:δ[n],单位冲激序列,如图所示。
188.png
δ[n]的定义为:
189.png
如果把δ[n]作为输入信号输入离散系统,则对应的输出被称为单位冲激响应序列,一般用符号h[n]来表示,如图所示。
190.png
后面会看到:有了h[n]后,离散系统输入任何序列都可以得到对应的输出序列,因此常常用单位冲激响应序列h[n]来描述一个离散系统,如图所示。
191.png
y[n]、x[n]和h[n]三者之间是什么关系呢?
考虑到系统输入δ[n]时对应的输出为h[n],输入δ[n-k]时对应的输出为h[n-k],可以将x[n]分解为一系列δ[n-k]之和
192.png
x[k]δ[n-k]对应的输出为x[k]h[n-k]
将所有输出叠加,即可得
193.png
也就是说:离散系统的输出等于输入序列和单位冲激响应序列的卷积。
y[n]=x[n]*h[n],其中*表示卷积。
下面看一个例子。假定离散系统的输入序列x[n]和单位冲激响应序列h[n]如图所示。
194.png
先对x[n]进行分解:
195.png
x[0]δ[n]及其对应的输出x[0]h[n],如图所示。
196.png

x[1]δ[n-1]及其对应的输出x[1]h[n-1],如图所示。
197.png
x[2]δ[n-2]及其对应的输出x[2]h[n-2],如图所示。
198.png
x[3]δ[n-3]及其对应的输出x[3]h[n-3],如图所示。
199.png
x[4]δ[n-4]及其对应的输出x[4]h[n-4],如图所示。
200.png
x[5]δ[n-5]及其对应的输出x[5]h[n-5],如图所示。
201.png
将所有的输出叠加,得到:
202.png
如图所示。
203.png
2.连续系统的单位冲激响应

如果把单位冲激信号δ(t)作为输入信号输入连续系统,则对应的输出被称为单位冲激响应,一般用符号h(t)来表示,如图所示。
204.png
后面会看到:有了h(t)后,连续系统输入任何信号都可以得到对应的输出信号,因此常常用单位冲激响应h(t)来描述一个连续系统,如图所示。
205.png
与离散系统类似,连续系统的输出也是等于输入信号和单位冲激响应的卷积:y(t)=x(t)*h(t)
下面以利用理想低通滤波器从抽样信号中重建模拟信号为例,看一下输出信号与输入信号、单位冲激响应的关系,如图所示。
206.png
将单位冲激信号输入理想低通滤波器时,输出的单位冲激响应是一个sinc信号,如图所示。
207.png
将抽样信号输入理想低通滤波器时,输出的是原始模拟信号,如图所示。
208.png
为什么通过理想低通滤波器可以重建原始模拟信号呢?
将抽样信号分解成一系列冲激信号之和,每个冲激信号会在理想低通滤波器的输出端产生一个冲激响应,只要将所有冲激响应叠加起来就可以得到输出信号。
所有冲激信号及其对应的冲激响应如图所示。
209.png
很明显,所有冲激响应的叠加结果就是原始模拟信号,如图所示。
210.png
3.时域卷积定理
两个信号卷积的频谱与两个信号的频谱之间是什么关系呢?
答案是:两个信号做卷积,相当于在频域做乘法。这就是时域卷积定理。也就是说:
若:y(t)=x(t)*h(t),则:Y(f)=X(f)H(f)
其中:
211.png
下面对时域卷积定理做一下推导。
根据傅里叶变换的定义,得
212.png
根据卷积的定义,得
213.png
代入上式,得
214.png
215.png 从外层积分移入内层积分,同时将x(τ)从内层积分移入外层积分:
216.png
根据傅里叶变换的时移特性:
217.png
代入,得
218.png
其中:
219.png
至此得到:Y(f)=X(f)H(f)
4.时域卷积定理在滤波中的应用
根据时域卷积定理,滤波器输出信号的频谱等于输入信号的频谱和滤波器频率响应的乘积。接着前面利用理想低通滤波器从输入抽样信号重建模拟信号的例子。
抽样信号的频谱是由原始模拟信号频谱以采样频率为间隔进行周期性拓展得到的,如图所示。
220.png
理想低通滤波器的频率响应如图所示。
221.png
二者相乘就可以得到输出信号的频谱,如图所示。
222.png
很明显,这正是原始模拟信号的频谱。
19.png
42.png
91.png
101.png
135.png
136.png
137.png
138.png
139.png
140.png
138.png
156.png
154.png
161.png
162.png
163.png
用心做好保姆工作
回复

使用道具 举报

1084504793 | 2024-3-12 17:44:40 | 显示全部楼层
回复

使用道具 举报

bzhou830 | 2024-3-12 17:52:59 | 显示全部楼层
选择去发光,而不是被照亮
回复

使用道具 举报

WT_0213 | 2024-3-13 09:24:56 | 显示全部楼层
回复

使用道具 举报

lazy | 2024-3-13 10:13:08 | 显示全部楼层
给园长点赞
回复 支持 反对

使用道具 举报

hdydy | 2024-3-13 11:14:01 | 显示全部楼层
学习学习
回复

使用道具 举报

wukong50 | 2024-3-13 11:47:09 | 显示全部楼层
回复

使用道具 举报

timo | 2024-3-13 13:28:06 | 显示全部楼层
回复

使用道具 举报

干簧管 | 2024-3-13 13:36:37 | 显示全部楼层
看不懂
回复

使用道具 举报

sansui | 2024-3-13 13:54:07 | 显示全部楼层
赞一下
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册

本版积分规则